Re: Normalverteilung

Hallo Jens,
"Litz: Wahrscheinlichkeitstheorie für Ingenieure"
gibt einen erwartungstreuen Konfidenzintervallschätzer für Normalverteilung an.
Erwartungstreu heiß, dass für n->Unendlich der tatsächliche Wert erreicht wird.
Es gibt keine Angabe darüber, ab welchem n man wie nahe am Wert ist.
Weiterhin schreibt er
"Die Ausweitung des Ergebnisses auf den praxisrelevanten Fall eines Merkmals mit unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz ist geradlinig,
Der unbekannten Verteilung begegnet man mit dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass für hinreichend gr0ßes n die Summe beliebig verteilter Zufallszahlen immer normalverteilt ist.
...
Die unbekannte Varianz bedeutet, dass wir in der Transformation die Standardabweichung durch die Wurzel aus s Quadrat ersetzen müssen.
Us = Xquer - Myx / ( S / Wurzel(n))
Wie .. gezeigt hat gehorcht Us der sogenannten Student Verteilung."
Student war das Pseudonym von Herrn Gosset.
Litz macht weder Angaben darüber, was denn hinreichend groß sein soll, noch Angaben darüber, wie gut die Näherung für das Konfidenzintervall ist, wenn die Verteilung nur näherungsweise eine Normalverteilung ist.
Das heißt, wenn Du mit deiner Methode Konfidenzintervalle bestimmst, ist das keine Messung, weil Du die Genauigkeit noch nicht einmal abschätzen kannst.
Damit ist deine Messeinrichtung nur ein sogenanntes Schätzeisen.
Mir ist kein Fall bekannt, bei dem jemand mit Hilfe so bestimmter Konfidenzintervalle Ziele, wie Du sie angibst, erreicht hat.
Kennst Du einen?
Wer darüber nachdenkt, so etwas zu verwenden, sollte es zuerst per Simulation testen.
Nachdem Du in der Vergangenheit für deine Methode damit geworben hast, dass das in der Technik jeder so mache, findest ich es befremdlich, dass Du nachdem ich Dir die Probleme deiner Vorgehensweise gezeigt habe,
die Aussage machst, in der Technik gelte eine andere Mathematik als in der Biologie.
Du verweist mehrfach auf die Ziele, die Du verfolgst, die ja andere seien als die in der Technik.
Die Mathematik interessiert sich nicht für die Ziele, die Du verfolgst.
Zunächst einmal hatte ich allgemein von der Messung des Gewichts gesprochen und FPV nur als Beispielanwendung angegeben.
Aber auch deine Behauptung, bei der FPV ginge es um die Einhaltung von Toleranzen, ist falsch.
Bei der FPV gibt es zum Beispiel auch eine Mittelwertforderung.
Da die Produzenten möglichst wenig wegschmeißen wollen, wird die Überwachung des Mittelwerts von fast allen Produzenten durchgeführt.
Die schätzen darum auf Grund der Entwicklung des Mittelwertes ab, ob denn die gewogenen Objekte noch zur selben Grundgesamtheit gehören nötig macht.
Diese Verfahren werden denn auch zum Beispiel beim Litz beschrieben.
Die FPV hat aber noch einen weiteren Aspekt, der eine Schätzung, ob denn Objekte zur selben Grundgesamtheit nötig machen kann.
Die Objekte müssen zum Zeitpunkt die FPV einhalten, an dem sie in den Verkehr gebracht werden.
Das kann aber Monate oder gar Jahre nach der Produktion sein.
Man muss also zumindest abschätzen, ob sich die Produkte bis dahin nicht verändert haben.
Der Mathematik ist es völlig egal, ob die Veränderung des Gewichts durch Lagerung oder Schrumpfungsprozesse bei Sporen durch Lagerung untersucht werden.
Konkretes Beispiel aus der Praxis:
Bei Spraydosen ist mit Leckagen zu rechnen.
Darum machen die Hersteller solcher Dosen folgendes:
Sie ermitteln aus einer großen Anzahl produzierter Dosen die statistischen Kennwerte.
n Größenordnung mehrere Tausend. Wenn man das besonders gut machen will, kann man zum Beispiel auch die Produktion eines ganzen Jahres untersuchen.
Dann ist n > 100000.
Die Produzenten entnehmen aus einer Charge eine Stichprobe von 20 Stück und lagern sie ein halbes Jahr ein.
Danach messen Sie diese Stichprobe erneut und nehmen die statistischen Kennwerte der Probe.
Damit kann man abschätzen, ob denn die Probe zur gleichen Grundgesamtheit gehört.
Die schätzen dann auch die Größe der Leckage auf Grund der Daten, das hat aber mit dem, was Du machen willst, nichts zu tun.
Anderes Beispiel: Spraydosen, die Medikamente enthalten.
Da muss abgeschätzt werden, ob die Dosis, die bei einem Sprühstoß aus der Dose kommt, nach Lagerung noch die gleiche wie vorher ist.
Also ob die Medikamentendosis vor und nach der Lagerung aus der gleichen Grundgesamtheit stammt.

Wenn Du deine Ziele erreichen willst, wirst Du nicht darum herumkommen, große Datenmengen zu verarbeiten.
Ich habe dazu auch konkrete Vorgehensweisen benannt.
Ich könnte noch ergänzen, dass es bei kleinen Stichproben sinnvoll sein kann, den Mittelwert über den Median zu schätzen.
Dazu gibt es auch Theorie, aber dabei gibt es das schon mehrfach benannte Problem.
Um anzugeben was klein ist, braucht man sehr genaue Informationen über die Grundgesamtheit.
Eine solche Untersuchung scheint mir allerdings in der Realisierung eher ein Aufwand von einer oder mehreren Doktorarbeiten zu sein.
Außerdem sollten da mindestens zwei Disziplinen beteiligt sein: Sowohl ein Mathematiker als auch ein Biologe.
Eventuell noch ein Informatiker zur Erarbeitung von Algorithmen zur Mustererkennung, die bei der vorliegender Datenmenge - bei Bildern sehr viel - in einer Zeit < 1Jahr terminieren.
Deshalb die "Abschweifung" aus meiner Berufserfahrung.

Ich finde das ganze Thema übrigens sehr interessant und eben darum solche Bemühungen sehr verdienstvoll.
Die Mykologie verlässt sich bei der Bestimmung von Arten sehr stark auf näherungsweise konstante Abmessungen der Sporen.
Mir ist nicht bekannt, dass jemand diese Vorgehensweise jemals evaluiert hätte.
Ich finde hingegen Hinweise, dass die Abmessungen bei derselben Art nicht konstant sind.
Werner Jurkeit hat zum Beispiel nach seinen Angaben einige Russula Myzel in verschiedenen Jahren besucht.
Dabei fand er merklich verschiedene Sporenmaße in verschiedenen Jahren.
Er findet solche Abweichungen aber auch bei allen anderen Merkmalen, die zur Bestimmung herangezogen werden.
Er fokussiert in seinen Analysen darum auf das Biotop, in dem die Täublinge wachsen, und die pflanzlichen Partner.
Außerdem hat er sehr intensiv andere nur mikroskopisch erkennbare Strukturen untersucht.
Auch Ursula hat hier schon berichtet, dass bei eindeutig bestimmten Trivialarten oft die Sporenmaße davon abweichen, was in der Literatur steht.

Ich habe einen Sportkameraden, der mit gutem Erfolg an der Mathematikolympiade teilgenommen hat.
Er arbeitet mittlerweile beim Fraunhofer Institut und macht dort statistische Auswertungen für die Industrie.
Wenn ich so etwas in Angriff nehmen wollte, würde ich bei Fraunhofer nachfragen, ob man da nicht ein Projekt starten könnte.
Die sind bestimmt bereit, auch Projekte mit Unis zu machen.

Gruß,
Marcel